\documentclass[11pt, a4paper]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel}



%\usepackage{graphicx} % support the \includegraphics command and options

%%% PACKAGES
\usepackage{booktabs} % for much better looking tables
\usepackage{array} % for better arrays (eg matrices) in maths
\usepackage{paralist} % very flexible & customisable lists (eg. enumerate/itemize, etc.)
\usepackage{verbatim} % adds environment for commenting out blocks of text & for better verbatim
\usepackage{subfig} % make it possible to include more than one captioned figure/table in a single float
% These packages are all incorporated in the memoir class to one degree or another...

\renewcommand{\cftsecfont}{\rmfamily\mdseries\upshape}
\renewcommand{\cftsecpagefont}{\rmfamily\mdseries\upshape} % No bold!


\begin{document}
1) Дана алгебраическая система $A=<M | \sigma>$.  Множество $M$ это есть множество точек плоскости, сигнатура содержит предикат $C(x,y,z)$ и равенство:

\[
x=y  := x \text{совпадает с} y,

C(x, y, z)  :=   x ,y \text{равноудалены от точки } z.
\]

Написать формулу сигнатуры $\sigma$, истинность которой в алгебраической системе $A$ означает, что: 

1.1) три разные точки $A$ $B$ $C$  лежат на одной прямой.

1.2) точки $A$, $B$, $C$, $D$ таковы, что $A$ и $B$ различны, $C$ и $D$ различны, а прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

1.3) формула определяет свойство четырех точек быть вершинами параллелограмма

1.4) расстояние $|AB|$ равно расстоянию $|CD|$.

1.5) для трех точек: $|OA|\leq |OB|$



2)  Пусть $M$ это множество студентов математического факультета по состоянию на 1 сентября текущего года. Сигнатура состоит из предикатов:
\[
A(x) :=  x \text{сдал зачет по вычислительной практике}

B(x) :=  x \text{староста}

C(x, y) := \text{студенты } x , y \text{учатся  в одной группе}
\]
Написать формулы ИП, истинность которых означает:

2.1) Есть группа такая, что все студенты из неесдали зачет по выч.практике.

2.2) Есть группа, в которой нет старосты.

2.3) $x $ -- староста и не сдал зачет по выч.практике
\end{document}
